08 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS

FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Frações algébricas é o quociente de divisão de duas expressões algébricas

Exemplos

a) x/5y
b) (x+y) / (a – 1)
c) ( x – 1) / ( y + 2 )

Observações

1) Nas rações algébricas o numerador e o denominador são polinômios ou monômios
2) O denominador de uma fração nunca pode ser zero
3) As propriedades das frações algébricas são as mesmas das frações aritmética.

SIMPLIFICAÇÃO

Para simplificar uma fração, basta dividir o numerador e o denominador por seus divisores comuns.

Exemplos

1) 10 a²b / 15a³ =
    (10 a a b ) / ( 15 a a a )=
    ( 2.5.a.a.b) /( 3.5.a.a.a) =
    = 2b/3a


2) ( a² - 9) / ( a + 3) =
    [(a + 3) / (a – 3) ] / (a + 3) =
    = a – 3

Observe que neste último exemplo, fatoramos os termos da fração e cancelamos os termos comuns.
Uma fração que não admite mais simplificação é chamada de irredutível.

EXERCÍCIO

1) Simplifique as frações, admitindo que os denominadores sejam diferentes de zero.

a) 12x/15 = (R: 4x/5)
b) 12m/6a = (R: 2m/a)
c) 8x /10x² = (R: 4/5x)
d) 4x³/10xy = (R: 2x/5y)
e) 4x⁴a/6x³ = (R: 2x/5)
f) 6a⁵/7a³x = (R:6a²/7x)
g) 8ay/2xy³ = (R: 4a/y²)
h) 4x²y/10xy³ = (R: 2x/5y²)
i) 8am/-4am = (R: -2)
j) -14x³c/2x = (R: -7x²c)
k) 64a³n²/4an² = (R: 16 a²)

2) Simplifique as frações, admitindo que os denominadores sejam diferentes de zero.

a) (3a – 3b) / 12 = (R: (a -b) / 4)
b) (2x + 4y) /2a = (R: ( x + 2y))
c) (3x – 3) / (4x – 4) = (R: 3/4)
d) (3x – 3) / ( 3x + 6) = (R: (x -1)/(x -2))
e) (5x + 10) / 5x = (R: (x + 2)/ x))
f) (8x – 8y) / (10x – 10y) = (R: 4/5)
g) (3a + 3b) / 6a + 6b) = (R: 3/6 ou 1/2)
h) ( 15x² + 5x) / 5x =
i) (6x – 6y) / (3x – 3y) =
j) (18x – 18) / (15x – 15) =
k) (x² - x) / (x – 1) = (R: x)
l) (2x + 2y) / 6 =

3) Simplifique as frações admitindo que os denominadores sejam diferentes de zero

a) (x² - 4) / (x – 2) =
b) (a² - 9) / 5(a + 3) =
c) (4x² - y²) / ( 2x – y) =
d) (a + b)⁵ / (a + b)² =
e) ( a – b)² / ( a² - b²) =
f) (x + y)² / ( x² - y²) =
g) (x² - 2x + 1) / (x² - 1) =
h) ( a + 1) / (a² + 2 a + 1) =
i) (x² + 6x + 9) / (2x + 6) =

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE EXPRESSÕES ALGEBRICAS
Recapitulando:

Vamos determinar o m.m.c dos números 60 e 70 pelo processo de decomposição em fatores primos.

60, 72 | 2
30, 36 | 2
15, 18 | 2
15 ,09 | 3
05, 03 | 3
05, 01 | 5
01, 01

Logo : 2.2.2.3.3.5= 360

Para determinar o m.m.c. das expressões algébricas, procedemos do mesmo modo.

Exemplos:

1) Calcular o m.m.c. das expressões: 4xy³ e 10x²yz

Solução:

4xy³ = 2 .2.x. y.y
10x²yz = 2.5.x.x.y.z

Logo:
2.2..5.x.x.y.y.y.z = 20x²y³z



2) Calcular o m.m.c. das expressões : x² - 25 e x² + 10x + 25

Solução:

x² - 25 = (x + 5) (x – 5)
x² + 10x + 25 = (x + 5) (x + 5)

logo:
m.m.c.= (x+5)² . (x-5)



EXERCÍCIOS


1) Determine o m.m.c dos monômios:

a) 4x² e 2x = (R: 4x²)
b) 8x e 4x = (R:8x)
c) x² e x³ = (R: x³)
d) 2x² e x = (R: 2x²)
e) 5x² e 3x = (R: 15x²)
f) 6x² e 10xy = ( R: 30x²y)
g) 5x e 15x²b = (R: 15x²b)
h) 2x, 5y e 4z = (R: 20xy²)

2) Determine o m.m.c dos monômios:

a) 2ab e 3abc²
b) 7b e 21b³x
c) 3x²y e 6xy²
d) 4xy e 5x²z
e) 4x²y, 6x³ e 2x
f) 12x, 15b e 9c
g) 9x⁴y², x²y e 12x³y3
h) 10ax², ax² e 2x³

3) Determine o m.m.c das expressões:

a) ( x – 2) e (x² - 4)
b) ( x + 3) e ( x² -9)
c) (x + 7 ) e( x² -49)
d) ( 5x – 5) e ( x -1)
e) (x + 1) e ( x² + 2x + 1)
f) (x² - 9 ) e (x² + 6x + 9)



OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ALGÉBRICAS

1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Para adicionar ou subtrair frações algébricas utilizamos as mesmas regras das frações numéricas

a) Frações que apresentam o mesmo denominador.

Somamos ou subtraímos os numerados e conservamos o denominador comum

Exemplo

1) 5x/m + 3x/m = (5x + 3x)/m = 8x/m
2) 7x/6y – 3x/6y = (7x – 3x)/6y = 4x/6y = 2x/3y

EXERCICIOS

1) Efetue as operações indicadas:

a) (5x/7y) + (3x/7y) = (R: 8x/7y)
b) (3x/7y) – (x/7y) = (R: 2x/7y)
c) (5/9x) – (1/9x) = (R: 4/9x)
d) (4x/7y) – (x/7y) = (R: 3x/7y)
e) (2x/y) – (8x/y) = (R: -6x/y)
f) (5x/3m)+ (2x-9/3m) = (R: (7x -9) /3m)
g) (5x/8m) – (x-4 /8m)
h) (a / y – x) + ( a / y – x)
i) (x – 5/ x² - 1) + ( 5 / x² -1)
j) (3x² x / 2y + 1) – ( x² - 2x / 2y + 1)

2) Efetue as operações indicadas:

a) (8x /a + x/a + 2x/a)
b) 7y/a – 2y/a + 4y/a
c) (2x – 3y / 3m) + (3x + 4y / 3m)
d) ( x + y /x – 6) – ( 5x – 2y / x – 6) = R: ( -4x + 3y / x – 6)



b) Frações que apresentam denominadores diferentes.

Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador comum e em seguida procedemos como no caso anterior

Exemplo 1

Calcular: (3y / 2x) + (5y / 4x)

Temos m.m.c (2x,4x) = 4x

Logo:
(3y / 2x) + (5y / 4x) =
( 6y/4x) +(5y/4x) =
(6y + 5y) / 4x =
11y/4x

Exemplo 2

Calcular: (5/2x )– (3/4x²)

Temos m.m.c. : (2x,4x²) = 4x²

Logo: 5/2x – 3/4x² =
10x/4x² - 3/4x² =
(10x -3)/4x²

EXERCÍCIOS

1) Efetue as operações indicadas:

a) 10/x – 25/3x =
b) 3/2xy + 1/xy =
c) 5y/3x + 3y/2x =
d) 7/x² + 5/x =
e) 3/2x² - 8/x =
f) 10/x – 25/3x =

2) Efetue as operações indicadas

a) 7/ 10x – 3/5x=
b) 1/x + 1/y =
c) 5/yx – x/3y =
d) (a + 3)/4m + 1/2m =
e) (6x + 13)/2y + (x + 3) 3y =
f) (3x – 1) /10y + (5 – 2x) / 15y =


Exemplo 3

Calcular

3/(x-2) + 5/(x + 2)

Temos m.m.c. = (x – 2) ( x + 2)

Logo:
3/(x-2) + 5/(x + 2) =
3(x +2) / (x – 2) ( x + 2) + 5(x - 2) / (x – 2) ( x + 2) =
3x + 6 + 5x -10 /(x – 2) ( x + 2) =
8x -4/ (x – 2) ( x + 2)


EXERCÍCIOS

1) Efetue as operações indicadas

a) 4 / (x + 1) + 2 /(x – 1) =
b) 5x / ( x + 2) - 3x / ( x – 2)
c) 3/x – 2/(x + 1) =
d) 4/x + 5/(x -2) =
e) 2/(x+2) – 1/(x -1) =
f) 1/(x -3) – 6/ (x² - 9)=
g) (3x + 2) / (x² - 4) – 4 / (x + 2) =
h) 3/(x -2) + 1/(x² - 4) =
i) 4x/ (x² - 36) – 4/(x+6)=
j) (x + 1) / (2x -4) – (x -1)/ (3x – 6) =


MULTIPLICAÇÃO
Para multiplicar frações algébricas procedemos do seguinte modo:
-multiplicamos os numeradores entre si
- multiplicamos os denominadores entres si

Exemplos

Calcular os produtos

1) a/b . x/y = ax/by
2) 3a / x . 7/5y = 21a /5xy
3) 2x/5c . 4x² /3c = 8x³/15c²
4) (x + y)/ 4b . (x – y)/ m = (x² - y²) / 4

Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelá-los antes de efetuar a multiplicação.

Exemplos

1) a/3x . 2x/5 = 2a /15
2) (3x – 2) / 5 . 7a / (3x -2) = 7a / 5

EXERCICIOS

1) Efetue as multiplicações

a) 3 a / x . y/2 =
b) 2x/5 . 4a/x =
c) 3/a .5y/y =
d) 2 a/x . 5b / y =

2) Efetuar as multiplicações

a) 7 a /m² . 2 a/5m =
b) m/x² . 6a³/7x=
c) 3x/2y . x²/4 =
d) 3xy/5 a . 2x³ / a²y =
e) 2x/7 a . 4x/5 a =
f) 2x/a . x/4 a =
g) 2am/3bx . 9 a/4x =
h) 5x²/3y . 2x / y³ =

3) Efetue as operações indicadas:

1) Efetue as multiplicações:
a) (x + y) / 7 . ( x – y) / 2 =
b) 4 / (x + y) . ( x + y ) / 5 =
c) 1 / (x – y) . 1 /(x + y) =
d) (7 – x) / ( 7 + x) . ( 7 + x ) / ( 7 – x) =
e) ( x + 1) / ( x – 5) . ( x – 1) / ( x + 5) =
f) ( a + b ) / 7 . ( a + b ) /ab =
g) 8m / ( m -1) . m / (m + 1) =
h) ( x² - 9) / 5 . 10/(x – 3) =


DIVISÃO


Multiplicamos a primeira fração pela inversa da segunda.
Exemplos:

Calcular o quociente:

1) 2x/a : 3m/5c = 2x/a . 5c/3m = 10cx/3am
2) 5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a . 2x/7b = 10x³/21ab
3) a/ (x+y) : m/(x + y) = a/ (x+y) . (x +y)/m = a/m

EXERCICIOS

1) Calcule os quocientes

a) 2a/ b : x/y =
b) 3x/4 : 5y/7 =
c) x/2 : ax/8 =
d) 5x/a : a/ xy =
e) 3x/2 : 6x²/4 =
f) 2y/x : 10x/3y=
g) 2a / 3x² : 5a² / 9xy =
h) 3a /4m² : 9m²/16a =

2) Calcule os quocientes:

a) (x + 1) /5x : a / (x -1)
b) (am/(x + y) : m / ( x + y) =
c) ( x² - 1) / (5x + 5) : ( 5x – 5)/ (x + 1)
d) ( a – b) / a : ( 3a – 3b) / 5 a =

3) Efetue:

a) 1/x : 5 a/x =
b) x/2 : 5x²/8 =
c) 6x : 3x/4 =
d) x²/y : x/y³ =
e) x⁵/y³ : x²/y⁸ =
f) 2x³/ y² : 4x / y⁵ =


POTENCIAÇÃO


Elevamos o numerador e o denominador à potência indicada.
Exemplos:
Vamos calcular as potências:
1) (3x²/5am³)² = (3x²)² / (5am³)² = 9x⁴/25a²m⁶
2) (4a/x-3)² = (4a)²/(x-3)² = 16a²/x²-6x+9


EXERCICIOS

1) Calcule as Potências:

a) (a/5m)² =
b) (7x/a)² =
c) (3x/a²)² =
d) (2a³/3x²)³ =
e) (2a²/x³)³ =
f) (6c²/5)² =

2) Calcule as Potências:

a) (2a³/m⁴)² =
b) (a⁵/2b)³ =
c) (2m⁵/3)⁴ =
d) (am⁴/c³)² =
e) (2x⁵/a³c³)² =
f) (m³/2n²)⁵ =


3) Calcule as Potencias

a) ( -2x/y)² =
b) (-3x³/a⁶)² =
c) (-5x⁴/2a³)³
d) (-2x/y)⁵ =
e) (-4x²/3y)² =
f) (-2x²/ 3y³)⁴ =