Tuesday, November 30, 2010

07 - FATORAÇÃO

FATORAÇÃO



O QUE SIGNIFICA FATORAR?

Fatorar significa transformar em produto

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.

1) FATOR COMUM
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx

Ax + bx + cx = x . (a + b + c)

O x é fator comum e foi colocado em evidência.

Exemplos


Vamos fatorar as expressões

1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)

EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)b) 7a – 7b = R: 7 (a - b)c) 5x – 5 = R: 5 (x - 1)d) ax – ay = R: a (x - y)e) y² + 6y = R: y (y + 6)f) 6x² - 4a = R: 2 (3x² - 2a)g) 4x⁵ - 7x² = R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ = R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ = R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x = R: x(x + 13)k) 5m³ - m² =
l) x⁵⁰ + x⁵¹ =
m) 8x⁶ - 12x³ =
n) 15x³ - 21x² =
o) 14x² + 42x =
p) x²y + xy² =

2) Fatore as expressões:

a) 2a – 2m + 2n = (R: 2 (a -m+n))b) 5a + 20x + 10 = (R: 5(a + 4x + 2))c) 4 – 8x – 16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))d) 55m + 33n = (R: 11(5m + 3n))e) 35ax – 42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax -7an =  (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x – 5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m-  2))
h) 2ax + 2ay – 2axy = (R: 2a(x + y -xy))

3) Fotore as expressões:

a) 15x⁷ - 3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =
c) a⁵ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m –n)


2) AGRUPAMENTO
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by

ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)

Observe o que foi feito:

Nos dois primeiros temos “x em evidencia”
Nos dois últimos fomos “y em evidência”
Finalmente “ (a + b) em evidência”
Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum

Exemplos:

Vamos fatorar as expressões:

1º exemplo

5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)

2º exemplo

x² + 3x + ax + 3a
x(x + 3) + a ( x + 3)
(x + 3) . ( x + a)


EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =

2) Fatore as expressões:

a) m² + mx + mb + bx=
b) 3a² + 3 + ba² + b =
c) x³ + 3x² + 2x + 6 =
d) x³ + x² + x + 1 =
e) x³ - x² + x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x² + 4x – 20 =


3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² + b²
Sendo assim: a² + b²= ( a+ b ) (a –b)
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.

1º exemplo

x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)


2º exemplo

9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)

Exercícios

1) Fatore as expressões:

a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =

2) Fatore as expressões

a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =


4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Vimos que:

(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²

(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²

Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas.
Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
o resultado terá o sinal do termo do meio.

EXERCÍCIOS

1) Coloque na forma fatorada as expressões:

a) x² + 4x + 4 = R:(x + 2)²b) x² - 4x + 4 = R:(x -2)²c) a²+ 2a + 1 = R: (a + 1)²d) a² - 2a + 1 = R: (a – 1)²e) x²- 8x + 16= R: ( x – 4)²f) a² + 6a + 9 = R: (a + 3)²g) a² - 6a + 9 = R: (a + 3)²h) 1 – 6a + 9a² = R: (1 – 3a)²
2) Fatore as expressões

a) m² -12m + 36=
b) a² + 14a + 49 =
c) 4 + 12x + 9x² =
d) 9a² - 12a + 4 =
e) 9x² - 6xy + y² =
f) x² + 20x + 100 =
g) a² - 12ab + 36b² =
h) 9 + 24a + 16a² =
i) 64a² - 80a + 25 =
j) a⁴ - 22a² + 121
l) 36 + 12xy +x²y²
m) y⁴ - 2y³ + 1

29 Comments:

At 1:04 PM, Blogger vivizinha pires said...

gostei muito das dicas q este site da

 
At 1:56 PM, Blogger Gabriel Mendes said...

Você poderia ter colocado as respostas no final. De qualquer forma, obrigado!

 
At 12:00 PM, Blogger Rodrigo Leonardo said...

agradeço muito pelas dicas mas tenho que concorda com o Gabriel Mendes, você poderia colocar as respostas no final, de qualquer forma gostei da sua iniciativa.

 
At 12:00 PM, Blogger Rodrigo Leonardo said...

agradeço muito pelas dicas mas tenho que concorda com o Gabriel Mendes, você poderia colocar as respostas no final, de qualquer forma gostei da sua iniciativa.

 
At 5:20 PM, Blogger Patrick Cesar said...

tem como por as respostas dos exercícios ? está perfeito as explicações

 
At 11:22 AM, Blogger pedro felipe said...

fico um cu essa bosta

 
At 11:22 AM, Blogger pedro felipe said...

fico um cu essa bosta

 
At 7:03 AM, Blogger Nathalie Silva said...

Poderia colocar as resposta por favor! a explicaçoes estão perfeita! por favor

 
At 11:31 AM, Blogger ana victhoria said...

ficou otimo isso fez eu passar na prova muito obrigado , so faltou as respota no final e videos de professores explicando para aprendermos mais

 
At 3:56 PM, Blogger deafening noise said...

Resposta do exercício 1
a) 4(x+y)
b) 7(a-b)
c) 5(x-1)
d) a(x-y)
e) y(y+6)
f) 2(3x²-2a)
g) x²(4x³-7)
h) m³(m^4-1)
i) a³(1+a³)
j) x(x+13)
k) m²(5m-1)
l) x^50(1+x)
m) 4x³(2x³-3)
n) 3x³(5-7)
o) 14x(x+3)
p) xy(x+y)

 
At 4:52 PM, Blogger deafening noise said...

This comment has been removed by the author.

 
At 4:53 PM, Blogger deafening noise said...

This comment has been removed by the author.

 
At 4:56 PM, Blogger Elton Valério said...

Resposta do exercício 1
a) 4(x+y)
b) 7(a-b)
c) 5(x-1)
d) a(x-y)
e) y(y+6)
f) 2(3x²-2a)
g) x²(4x³-7)
h) m³(m^4-1)
i) a³(1+a³)
j) x(x+13)
k) m²(5m-1)
l) x^50(1+x)
m) 4x³(2x³-3)
n) 3x³(5-7)
o) 14x(x+3)
p) xy(x+y)

 
At 2:41 PM, Blogger Elton Valério said...

Resposta do exercício 3
a) 3x^4(5x³-a)
b) x^7(1+x+x²)
c) a²(a³+a1-1)
d) 2x²(3x-5+2x²)
e) 3xy(2x+4-3z)
f) x-3(a+b)

 
At 2:43 PM, Blogger Elton Valério said...

Esclarecimento:

2^4 significa 2 elevado a quarta, assim como 3^5 é 3 elevado a quinta

 
At 4:13 PM, Blogger Elton Valério said...

Resposta por agrupamento
a) (6+a).(x+y)
b) (a+7).(x+y)
c) (2+x).(a+n)
d) (a+5b).(x+y)
e) (3+x).(a-b)
f) (7a+b).(x-1)
g) (2+y).(x-1)
h) (a+b).(x+1)
i) (m+b).(m+x)
j) (3+b).(a²+1)
k) x(x²+3x+2+6)
l) x(x²+x+1)
m) x(x²-x-1)
n) x(x²+2x)+y(x+2)
o) (x+5).(x+2)
p) x(x²-5x)+2(2x-10)

 
At 4:39 PM, Blogger Elton Valério said...

Resposta da diferença de dois quadrados
a)(a+5).(a-5)
b)(x+1).(x-1)
c)(a+2).(a-2)
d)(3+x).(3-x)
e)(x+a).(x-a)
f)(1+y).(1-y)
g)(m+n).(m-n)

 
At 6:20 PM, Blogger Elton Valério said...

Resposta da diferença de dois quadrados
a)(2x+5).(2x-5)
b)(1+7a).(1-7a)
c)(5+3a).(5-3a)
d)(3x+1).(3x-1)
e)(2a+6).(2a-6)
f)(m+4n).(m-4n)
g)(6a+2).(6a-2)
h)(9+x).(9-x)
i)(2x+y).(2x-y)
j)(4x²+3).(4x²-3)
k)(6x+2y).(6x-2y)
l)(4a+3xy).(4a-3xy)
m)(5x²+y^4).(5x²y²)
n)(x²+y²).(x²-y²)

 
At 7:35 AM, Blogger Victoria Peres said...

coloca a resposta do trinomio quadrado perfeito pfvr

 
At 7:36 AM, Blogger Victoria Peres said...

coloca as respostas do trinomio quadrado perfeito

 
At 10:57 PM, Blogger Marina Ávila said...

coloca as respostas do trinomio quadrado perfeito pfvr?

 
At 7:20 AM, Blogger carlos juan said...

GOSTEI MUITO ! mas falta o 5º caso soma ou diferença de dois cubos

 
At 7:21 AM, Blogger carlos juan said...

GOSTEI MUITO ! mas falta o 5º caso soma ou diferença de dois cubos

 
At 12:08 PM, Blogger jaqueline oliveira said...

determine a area da figura indicando o produto da medida da base pela medida da altura.Lembrando que o valor da altura é X+2

 
At 7:30 AM, Blogger daniel leite said...

Resposta do exercício dos trinômios:
a)(m-6)²
b)(a+7)²
c)(2+3x)²
d)(3a+2)²
e)(3x-y)²
f)(x+10)²
g)(a-6b)²
h)(3+4a)²
i)(8a-5)²
j)(a²-11)²
l)(6+xy)²
m)(y²-1)²

 
At 4:19 PM, Blogger Layane Muniz said...

simplesmente amei! Foi ótimo para dar um refrescada na mente! Simulado vem aí e tenho que relembrar de tudooo!

 
At 3:31 PM, Blogger Sou uma menina digital. said...

Muito obrigada pela explicação me ajudou muito... simplesmente amei também!

 
At 6:17 AM, Blogger Lethicya Monteiro said...

Cadê a Respostass que eu naaum toou veendo...... Oxiii!

 
At 11:36 AM, Blogger daniela santana said...

Achei,muito boas as dicas pois estou com dificuldade em matemática.E gostei de vc ñ ter colocado as respostas no final,por que esta ensinando e não dando resposta de graça.:)

 

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