04 - OPERAÇÕES COM MONÔMIOS

OPERAÇÕES COM MONÔMIOS

O que são monômios ?

Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira que representa um produto de números reais.

- Um monômio distinguimos em duas patês:

1) Um parte numérica (constante) que também é chamada de coeficiente .

2) Uma parte literal (variável)

TERMOS SEMELHANTES

Dois termos que têm parte literais iguais, ou que não têm parte literal, são denominados termos semelhantes.

São semelhantes , por exemplo:

1)      6ab e -2ab

2)      3x e 7x

3)      4abc e -2abc

4)      1/4x⁴ e 12x⁴

Observe que:

5x²y³ e 5x³y² não são semelhantes

-3x²y³ e 4y³x² são semelhante


Adição e subtração

Eliminam-se os parênteses e reduzem-se os termos semelhantes.

Exemplos 1

(+8x) + (-5x)
8x – 5x
3x

Exemplo 2

(-7x ) – ( +x)
-7x – x
-8x

Exemplo 3

(2/3x) – (-1/2x)
2/3x + 1/2x
4x/6 + 3x/6
7x/6


EXERCÍCIOS


1) Efetue:

a) (+7x) + (-3x) = (R: 4x)
b) (-8x) + (+11x) = (R: 3x )
c) (-2y) + (-3y) = (R: -5y)
d) (-2m) + (-m) = (R: -3m)
e) (+5a²) + (-3a²) = (R: 2a²)
f) (+5x) + (-5x) = (R: 0)
g) (+6x) + (-4x) = (R: 2x)
h) (-6n) + (+n) = (R: -4n)
i) (+8x) – ( -3x) = (R: 11x)
j) (-5x) – (-11x) = (R: 6x)
k) (-6y) – (-y) = (R: -5y)
l) (+7y) – (+7y) = (R: 0 )
m) (-3x) – (+4x) = (R -7x)
n) (-6x) – ( -x) = (R: -5x)
o) (+2y) – (+5y) = (R: -3y )
p) (-m) –(-m) = (R: 0 )

2) Efetue :

a) (+ 3xy) – (-xy) + (xy) = (R: 5xy)
b) (+ 15x) – (-3x) – (+7x) + (-2x) = (R: 9x )
c) (-9y) –( +3y) – (+y) + (-2y) = (R: -15y)
d) (3n) + (-8n) + (+4n) – (-5n) – (-n) = (R: 5n)

3) Efetue:

a) (+1/2x) + (-1/3x) = (R: 1x/6)
b) ( -2/5x) + (-2/3x) = (R: -16x/15)
c) (-7/2y) + (+1/4y) = (R: -13y/4)
d) (+2m) +( -3/4m) = (R: 5m/4)
e) (+2/3x) - ( -3/2x) = (R: 13x/6)
f) (-3/4y) – (+1/2y) = (R: -5y/4)
g) (+2/5m) – (+2/3m) = (-4m/15)
h) (-3x) –(-2/5x) = (R: 13x/5)

4)   Calcule os monômios

a)      2x + 3x = (R: 5x)

b)      6y – 4y + 5y = (R: 7y)

c)       3a – 6a – a = (R: -4a)

d)      2/5 x²y 3/2 x²y = (R: 19/10 x²y)

e)      1/2ab – 3ab = (R: 5/2ab)

f)       7b + 4b – 6b = (R: 5b)

g)      3/2 y – 2y + 7/3 y = (R: 11/6Y)

h)      3/5 x + x = (R: 8/5x)

i)        8xy – 4xy + 4xy – 8xy = (R: 0xy)

j)        3/7 x + 41/8 x = ( R: 311/56x)

k)      -x² + 2/5 x² = (R: -3/5 x²)

l)        -3p -7p + 18p = (R: 8p)

MULTIPLICAÇÃO

O produto de dois monômios, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e somar os expoentes.

Exemplo

Vamos Calcular:

(3x²) . (2x⁵) =
( 3 . x . x) . ( 2 .x.x.x.x.x.)=
3 .2 x.x.x.x.x.x.x =
6x⁷

Conclusão: multiplicam-se os coeficientes e as partes literais

Exemplos

a) (3x⁴) . (-5x³) = -15x⁷
b) (-4x) . (+3x) = -12x²
c) (-2y⁵) . (-7y ) = 14y⁶
d) (3x) . ( 2y) = 6xy


EXERCÍCIOS

1) Calcule:
a) (+5x) . (-4x²) = (R: -20x³)
b) (-2x) . (+3x) = (R: -6x²)
c) (+5x) . (+4x) = (R: 20x²)
d) (-n) . (+ 6n) = (R: -6n²)
e) (-6x²) . (+3x²) = (R: -18x³)
f) (-2y) . (5y) = (R: -10y²)
g) (+4x²) . (+5x³) = (R: 20x⁵)
h) (2y) . (-7x) = (R: -14yx)
i) (-2x) . (-3y) = (R: 6xy)
j) (+3x) . (-5y) = (R: -15xy)
k) (-3xy) . (-2x) = (R: 6x²y)

 2) Calcule

a) (2xb) . (4x) = (R: 8x²b)
b) (-5x²) . (+5xy²) = ( R: -25 x³y²)
c) (-5) . (+15x²y) = (R: -75 x²y)
d) (-9X²Y) . (-5XY²) = (R: 45x³y³)
e) (+3X²Y) . (-XY) = ( R: -3x³y²)
f) (X²Y³) . (5X³Y²) = (R: 5x⁵y⁵)
g) (-3x) . (+2xy) . ( -x³) = (R: 6x⁵y)
h) (-x³) . (5yx²) . (2y³) = (R: -10x⁵y³)
i) (-xy) . (-xy) . (-xy) = (R: -x³y³)
j) (-xm) . ( x²m) . (3m) = (R: -3x³m³)

3) Calcule:
a) (1/2x) . (3/5x³) = (R: 3/10x⁴)
b) (-2/3x) . (+3/4y) = (R: -6/12xy ou -1/2xy)
c) (-1/3x²) . (4/2x³) = (R: -4/6x⁵ ou -2/3x⁵)
d) (-x²/3) . (-x/2) = (R: x³/6)
e) (-2x/3) . (6x/5) = (R: -12/15x²)
f) (-10xy) . ( xy²/3) =

DIVISÃO

A divisão de dois monômios, basta dividirmos o coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto dividimos  as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e subtrair  os expoentes.


Vamos calcula:

(15x⁶) : (5x²) =
15 . x . x . x. x. x. x : 3 . x . x
3 . x . x . x . x
3x⁴

Conclusão: dividem-se os coeficientes e as partes literais

Exemplos

a) (21x⁶) : (-7x⁴) = -3x²
b) (-10x³) : (-2x²) = +5x
c) (-15x³y) : ( -5xy) = +3x²

EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) (15x⁶) : (3x²) = (R: 5x⁴)
b) (16x⁴) : (8x) = (R: 2 x³)
c) (-30x⁵) : (+3x³) = (R: -10)
d) (+8x⁶) : (-2x⁴) = (R: -4x²)
e) (-10y⁵) : (-2y) = (R: 5y⁴)
f) (-35x⁷) : ( +5x³) = (R: -7x⁴)
g) (+15x⁸) : (-3x²) = (R: -5x⁷)
h) (-8x) : (-8x ) = (R: 1)
i) (-14x³) : (+2x²) = (R: -7x)
j) (-10x³y) : (+5x²) = (R: -2xy)
k) (+6x²y) : (-2xy) = (R: -3x)
l) (-7abc) : (-ab) = (R: 7c)
m) (15x⁷) : ( 6x⁵) =
n) (20a³b²) : ( 15ab²) =
o) (+1/3x³) : (-1/5x²) =
p) (-4/5x⁵y) : ( -4/3x³y) =
q) (-2xy²) : ( xy/4) = (R: -8y)


2) Calcule

a)      (10xy) : (5x) = ( R: 2y)

b)      (x³y²) : (2xy) = (R: 1/2 x²y)

c)       (-3xz²) : (-3xz) = (R: z)

d)      (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) = (R: -2m²n)

e)      (1/2a³b²) : (-a³b²) = (R: -1/2)

f)       (a⁴b³) : (5a³b) = (R: 1/5 ab²)

g)      (-3x⁵y³) : (-4x²y) = (R: 3/4x³y²)

h)      (-2/3 x⁴z⁴) : 5/3 z⁴ = (R: -2/5 x⁴)

POTENCIAÇÃO


Para elevarmos um monômio a uma potência devemos elevar cada fator desse monômio a essa potencia. Na pratica elevamos elevamos o coeficiente numérico à potencia e multiplicamos cada um dos epoentes das variáveis pelo expoente da potencia.


Vamos calcular:

(5a³m)² = 25 a⁶m

Conclusão : Para elevarmos um monômio a uma potência, elevamos cada um de seus fatores a essa potência.

Exemplos

1) (-7x)² = 49 x²
2) (-3x²y)³ = -27x⁶y³
3) (- 1/4x⁴)² = 1/16x⁸


EXERCÍCIOS

1) Calcule:

a) ( + 3x²)² =
b) (-8x⁴)² =
c) (2x⁵)³ =
d) (3y²)³ =
e) (-y²)⁴ =
f) (-mn)⁴ =
g) (2xy²)⁴ =
h) (-4x²b)² =
i) (-3y²)³ =
j) (-6m³)² =
k) (-3x³y⁴)⁴ =
l) (-2x²m³)³ =

2) Calcule:

a) (x²/2)³ =
b) (-x²/4)² =
c) (-1/2y)² =
d) (+2/3x)³ =
e) (-3/4m)² =
f) (-5/6m³)² =

RAIZ QUADRADA

Para extraimos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente numérico e a raiz de seus fatores. Na pratica isso equivale a dividirmos cada expoente pelo indice da raiz.


Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:

a) √49x² = 7x, pois (7x)² = 49x²
b) √25x⁶ = 5x³, pois (5x³)² = 25x⁶

Conclusão: para extrair a raiz quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e dividimos o expoente de cada variável por 2

Exemplos:

a) √16x⁶ = 4x³
b) √64x⁴b² = 8x²b

Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) √4x⁶ =
b) √x²y⁴ =
c) √36c⁴ =
d) √81m² =
e) √25x¹² =
f) √49m¹⁰ =
g) √9xb² =
h) √9x²y² =
i) √16x⁸ =

2) Calcule:

a) √x²/49 =
b) √x²/25 =
c) √4/9x⁸ =
d) √49/64x¹⁰ =
e) √25/81yx⁶ =
f) √121/100 x²m⁸ =

02 - CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

NUMEROS RACIONAIS

Numero racional é todo o numero que pode ser escrito na forma a/b (com b diferente de zero)

 Exemplos :

a) 5 = 5/1
b) -2 = -2/1
c) 0,7 = 7/10
d) 2,83 = 283/100
e) 0,444... = 4/9
f) 0,7272... 72/99

Observe que:

- todo o número inteiro é um número racional
- toda decimal exata é um número racional
- toda decimal periódica é um número racional



 NÚMEROS IRRACIONAIS

 Os números que não podem ser escritos em forma de fração são chamados de números irracionais , os números irracionais têm infinitas casas decimais e não são periódicas.

Exemplos

 a) 0,4137128.....
b) 7,1659314....
c) -0,4837616...
d) -2,8283541....

As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos são também exemplos de números irracionais.

a) √2 = 1,4142....

b) √3 = 1,7320....

c) √5 = 2,2360...

d) √6 = 2,4494...

ATENÇÃO !

 Observe que :

√4 é um número racional, pois √4 = 2

√9 é um número racional pois √9 = 3

EXERCICIOS

1)      Quais destes números são racionais?

a)      4

b)      8

c)       0

d)      -7

e)      0,3

f)       2,9

g)      -3,8

h)      0,473

i)        1,845

2)      Classifique em racional ou irracional cada número seguinte:

a)      0,777..

b)      4,1212...

c)       5,1318..

d)      0,1465..

e)      2,8181...

f)       4,845845...

g)      3,476582...

h)      0,193238...

i)        6,123123...

j)        1,234576...

3)      Determine as raízes apenas quando são números naturais

a)      √1

b)      √2

c)       √3

d)      √4

e)      √5

f)       √6

g)      √7

h)      √8

i)        √9

Responda :

a)       quais dos números acima são racionais?

b)      Quais dos números acima são Irracionais?


 4)      Classifique em racional ou irracional cada número seguinte:

a)      √12

b)      √15

c)       √16

d)      √24

e)      √36

f)       √49

g)      √44

h)      √58

i)        √60

j)        √64

k)      √72

l)        √81

NÚMEROS REAIS

 A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais chama-se conjunto dos números reais que será indicado com IR .

Exemplos

a) 3/5 é um número racional. É também um número real
b) √7 é um número irracional .É também um número real

Obs: que todo o número natural é inteiro, todo o numero inteiro é também racional e todo o racional é também real


EXERCÍCIOS

1)      Observe o conjunto A e responda

A = { √6,√15, √20, √25, √36, √40, √49}

a)      Quais os elementos de A são números racionais?
b)      Quais os elementos de A são números irracionais?
c)       Quais elementos de A são números Reais?

2)      Responda :

a)      Todo o número racional é real?
b)      Todo o número irracional é real?
c)       Todo número real é racional?
d)      Todo número real é irracional?


3)      Quais destes números são reais?

a)      √1

b)      √-1

c)       √4

d)      √-4

e)      √9

f)       √-9

OPERAÇÕES EM IR – PROPRIEDADES

Todas as operações estudadas em Q e suas respectivas propriedades também são validas em IR. Para quaisquer numero reais a, b, c, temos:


ADIÇÃO

1) Fechamento
(a + b) € IR

2) Comutativa
a + b = b + a

3) Associativa
(a + b ) + c = a + ( b + c)

4) Elemento Neutro
 a + 0 = 0 + a = a

5) Elemento oposto
 a + (-a) = 0




MULTIIPLICAÇÃO

 1) Fechamento
 (a . b) € IR

2) Comutativa
a . b = b . a

3) Associativa
( a . b) . c = a . ( b . c)

4) Elemento Neutro
a . 1 = 1 . a = a

5) Elemento inverso
a . 1/a = 1 ( a ≠ 0 )

6) Distributiva da multiplicação em relação à adição

a. (b + c) = a.b + a.c

EXERCÍCIOS

1)      Aplique a propriedade distributiva:

 a)      5 . ( x + y)

b)      2 . (3a + 4m)

c)       3.(a + 2m)

d)      7.(3x + y)

e)      a.(x -  y)

f)       4 . (2a – x )

g)      7. (x – y)

h)      -7 . (x – y)

i)        3 . (2x + y)

j)        -3 . (2x + y)

k)      2 . (3a – 4y)

l)        -2 . (3a – 4y)

2)      Sejam as afirmações:

      a)    a + m + n = n + m + a

b)      3x – 4y + z = -4y + 3x + z

c)       -5( x + Y) =  -5x – 5y

Quais são verdadeiras?

VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA


Observe os dois tipos de expressão matemáticas:

Expressão numéricas

a) 7 -1 + 4
b) 2. 5 – 3
c) 8² - 1 + 4

Expressões Algébricas

a) x + y – z
b) 2x – 4a +1
c) 3x² - 5x + 9

Expressões numéricas  –  possuem apenas números.

Expressões algébricas  –  possuem números e letras ou apenas letras





VALOR NÚMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo:

1º) Substituir as letras por números reais dados.

2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:

a) Potenciação
b) Divisão e multiplicação
c) Adição e subtração

IMPORTANTE!

Convém utilizar parênteses quando substituímos letras por números negativos

Exemplo 1

Calcular o valor numérica de 2x + 3a
para x = 5 e a = -4

2.x+ 3.a
2 . 5 + 3 . (-4)
10 + (-12)
-2

Exemplo 2

Calcular o valor numérico de x² - 7x +y
 para x = 5 e y = -1

x² - 7x + y
5² - 7 . 5 + (-1)
25 – 35 -1
-10 – 1
-11



Exemplo 3

Calcular o valor numérico de :
2 a + m / a + m ( para a = -1 e m = 3)

2. (-1) + 3 / (-1) + 3
-2 + 3 / -1 +3
½

Exemplo 4

Calcular o valor numérico de 7 + a – b (para a= 2/3 e b= -1/2 )

7 + a – b
7 + 2/3 – (-1/2)
7 + 2/3 + 1 / 2
42/6 + 4/6 + 3/6
49/6


EXERCICIOS

1) Calcule o valor numérico das expressões:

a) x – y (para x =5 e y = -4) (R:9)
b) 3x + a (para x =2 e a=6) (R: 12)
c) 2x + m ( para x = -1 e m = -3) (R: -5)
d) m – 2 a ( para m =3 e a = -5) (R: 13)
e) x + y ( para x = ½ e y = -1/5) (R: 3/10)
f) a –b ( para a =3 e b = -1/2) (R: 7/2)

2) Calcule o valor numérico das expressões
a) a³ - 5 a (para a = -2) (R: 2)
b) x² - 2y ( para x = -3 e y =5) (R: -1)
c) 3a² - b² (para a = -2 e b = -7) (R: -37)
d) 5a² + 3ab (para a = -3 e b = 4) (R: 19)
e) a² + 4a (para a = 2/3) (R: 28/9)



EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO

Um produto de números reais, todos ou em parte sob representação literal, recebe o nome de monômio ou termo algébrico

Exemplos

a) 7x
b) 4/5 a²
c) -5x²y
d) –xyz

Em todo monômio destacamos o coeficiente numérico e a parte literal (formada por letras)

Exemplo

7x , coeficiente 7 e parte literal x
4/5a² coeficiente 4/5, parte literal a²
-5x²y coeficiente -5, parte literal x²y
-xyz coeficiente -1, parte literal xyz

Obs: todo o número real é um monômio sem parte literal



GRAU DE UM MONÔMIO

O grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal

Exemplo 1

Qual o grau do monômio 7x³y² ?

Solução:

Somando-se os expoentes dos fatores literais,temos 3 + 2 = = 5
resposta 5º



Exemplo 2

Qual o grau do monômio -8a²bc?
Solução:
Somando-se os expoentes dos fatores, temos: 2 + 1 + 1 = 4
resposta 4º grau

Observação:
O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma letra de sua parte literal.

Exemplo 3
7 x³y² - é de 3º grau em relação a x , é do 2º grau em relação a y

EXERCÍCIOS

1) De o grau de cada um dos seguintes monômios:

a) 5x² = (R: 2º grau)
b) 4x⁵y³ = (R: 8º grau)
c) -2xy² = (R: 3º grau)
d) a³b² = (R: 5º grau)
e) 7xy = (R: 2º grau)
f) -5y³m⁴= (R: 7º grau)
g) 6abc = (R: 3º grau)
h) 9x³y²z⁵ = (R: 10º grau)


POLINÔMIO COM UMA VARIÁRIAL

Polinômio é uma expressão algébrica de dois ou mais termos

Exemplos

1) 7x – 1
2) 8x² - 4x + 5
3) x³ + x² - 5x + 4
4) 4x⁵ - 2x³ + 8x² x + 7

Convém destacar que:

- Os expoentes da variável devem ser números naturais 1, 2, 3, 4, ......
- Os polinômios de dois termos são chamados binômios ( exemplo 1)
- Os polinômios de três termos são chamados trinômios (exemplo 2)
- Os polinômios com mais de três termos não tem nomes especiais. (exemplos 3 e 4)

GRAU DE UM POLINÔMIO A UMA VARIALVEL

O grau de um polinômio é indicado pelo maior expoente da variável

Exemplo

a) 7x⁴ - 3x² + 1 é um polinômio do 4º grau
b) x³ - 2x⁵ + 4 é um polinômio do 5º grau Em geral, os polinômios são ordenados segundo as potencias decrescentes da variáveis

Exemplos

5x³ + x⁴ + 6x – 7x² + 2 ( polinômio não ordenado)
x⁴ + 5x³ - 7x² + 6x + 2 ( polinômio ordenado)

Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltado uma ou mais potencias, dizemos que os coeficientes desses termos são zero e o polinômio é incompleto.

Exemplos

x⁴ + 5x + 1 ( polinômio incompleto)
x⁴ + 0x³ + 0x² + 5x + 1 (forma geral ou completa)


TERMOS SEMELHANTES

Dois ou mais termos são semelhantes quando têm a mesma parte literal

Exemplos

a) 5m e -7m são termos semelhantes
b) 2xy³ e 9y³x são termos semelhantes

Obs : não importa a ordem dos fatores literais Não são semelhantes os termos: 4x e 7x² observe que os expoentes de x são diferentes

EXERCICIOS

1) Quais pares de termos são sememlhantes?

a) 7a e 4a (X)
b) 2x² e -6x² (X)
c) 4y e 5y²
d) 8xy e –xy (X)
e) 5a e 4ab
f) 4ab e 5/8 ab (X)
g) 8xy e 5yx (X)
h) 4x²y e –xy
i) xy² e 2x²y
j) 3acb e abc (X)

REDUÇÃO DE TERMOS SEMELHANTES

Quando, numa mesma expressão, tivermos dois ou mais termos semelhantes podemos reduzi-los todos a um único termo, usando a propriedade distributiva

EXEMPLOS

1) 5x +3x – 2x = (5 + 3 – 2 )x = 6x
2) 7xy – xy + 5xy = (7 -1 + 5) xy = 11xy

Conclusão: somamos os coeficientes e conservamos a parte literal

EXERCÍCIOS

1) Reduza os termos semelhantes

a) 8a + 2a = (R: 10a)
b) 7x – 5x = (R: 2x)
c) 2y² - 9y² = (R: -7y²)
d) 4a² - a² = (R: 3a²)
e) 4y – 6y = ( -2y)
f) -3m² + 8m² = (R: 5m²)
g) 6xy² - 8y²x = (R: -2y²x)
h) 5a – 5a = (R: 0)

2) Reduza os termos semelhantes:

a) 7x – 5x + 3x = (R: 5x)
b) 2y – y – 10y = (R: -9y)
c) 4a + a – 7a = (R: -2a)
d) x² + x² - 2x² = (R: 0 )
e) ab – ab + 5ab = (R: 5ab)
f) 4x³ - x³ + 2x³ = (R: 5x³)
g) 10x – 13x – x = (R: -4x)
h) 8x – 10x + 4x = (R: 2x)

3) Reduza os termos semelhantes:

a) 8x + 1x/2 = (R: 17x/2)
b) 3a - 2a/3 = (R: 7a/3)
c) 1x/2 + 1x/3 = (R:  5x/6)
d) 2x/3 - 1x/2 = (R: 1x/6)
e) 1y/2 – 2y/5 = (R: 1y/10)
 f) 2x + 1x/2 – 3x/4 = (R: 7x/4)

 Há casos em que numa expressão há termos diferentes e termos semelhantes entre si. Observe que a redução só pode ser feita com termos semelhantes.

Exemplo 1

7x + 8y – 2x – 5y
7x -2x + 8y -5y
5x + 3y

Exemplo 2:

4a³ + 5a² + 7a – 2a² + a³ - 9a + 6
4a³+ a³+ 5a²– 2a²+ 7a- 9ª + 6
5a³ + 3a² - 2a + 6

EXERCÍCIOS

1) Reduza os termos semelhantes:

a) 6a + 3a – 7 = (R: 9a - 7)
b) 4a – 5 – 6a =  (R: -2a - 5)
c) 5x² + 3x² - 4 = (R: 8x² - 4)
d) X – 8 + x = (R: 2x -8)
e) 4m – 6m -1 = (R: -2m -2)
f) 4a – 3 + 8 = (R: 4a + 5)
g) x² - 5x + 2x² = (R: 3x² - 5x)
h) 4a – 2m – a = (R: 3a - 2m)
i) Y + 1 – 3y = (R: -2y + 1)
 j) X + 3xy + x = (R : 3x + 3xy)

2) Reduza os termos semelhantes

a) 7a – 2a + 4b – 2b = (R: 5a + 2b)
b) 5y² - 5x – 8y² + 6x = (R: -3y² + 1x)
c) 9x² + 4x- 3x² + 3x =  (R: -6x² + 7x)
d) X + 7 + x – 10 – 1 = (R: 2x -4)
e) x³ - x² + 7x² + 10x³ + 4 = ( 11x³  + 6x² + 4)
f) 2x³ - 7x² + 4x – 2 + 8 – 3x² = ( R: 2x³- 10x² + 4x + 6)
g) 4a²b – 3b² - 6b² - 2a²b – 1 = (R: 2a²b - 9b² - 1)

3) Reduza os termos semelhantes

a) 1/2x – 1/3y + x=
b) 4a- 1/2a + 5 - 1/3 =
c) 1/2a- 3a² + a + 3a = 9ª – 6a²
d) 4y – 3/5y + 1/2 + 1 = 34y + 15
e) 2m + 3 + m/2 – ½ = 10m +10


ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES

Vamos lembrar que:
1) Ao eliminar parênteses procedimentos pelo sinal positivo(+),não troque os sinais dos termos incluídos nos parênteses.

Exemplo

2x + (5x – 3)
2x + 5x – 3
7x – 3

2) Ao eliminar parênteses precedidos pelo sinal negativo ( - ), troque os sinais dos termos incluídos nos parênteses.

Exemplo

7x – (4x – 5)
7x – 4x + 5
3x + 5

Obs: Para a eliminação de colchetes e chaves são validas as regras acima.

Exemplos 1

5x + (3x -4) – (2x – 9)
5x +3x – 4 -2x + 9
5x + 3x -2x -4 + 9
6x + 5

Exemplo 2

8x – [-2x + (10 + 3x – 7)]
8x –[-2x +10+3x-7]
8x +2x -10-3x+7
8x + 2x – 3x -10 +7
7x -3

Exemplo 3

2x² + { 3x – [ 6x – ( 3x² + x)]}
2x² + { 3x – [ 6x – 3x² - x]}
2x² + { 3x – 6x + 3x² + x}
2x² + 3x – 6x + 3x² + x
2x² + 3x² + 3x -6x + x
5x² -2x

EXERCÍCIOS

1) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:

a) 6x + (2x – 4) – 2 = (R: 8x – 6)
b) 7y -8 – (5y – 3) = (R: 2y – 5)
c) 4x – ( -3x + 9 – 2x) = (R: 9x – 9)
d) 3x – (-2x +5) – 8x + 9 = (R: -3x + 4)
e) 4x – 3 + (2x + 1 ) = (R: 6x – 2)
f) ( x + y ) – ( x + 2y) = (R: -y)
g) (3x – 2y) + ( 7x + y) = (R: 10x – y)
h) –(8x + 4) – ( 3x + 2) = (R: -11x – 6)

2) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas

a) 5x + ( 3x – 2) – ( 10x – 8) = (R: -2x + 6)
b) 6x + (5x – 7) – (20 + 3x) = (R: 8x -27)
c) ( x + y + z ) + x – ( 3y + z) = (R: 2x – 2y)
d) (m + 2n ) – ( r - 2n ) – ( n + r) = (R: m + 3n – 2r)
e) –(6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – ( -2x + 3y) = (R: -6y – 6x)

3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébrica:

a) 6x² - [ 4x² + ( 3x – 5 ) + x = (R: 2x² - 4x + 5)
b) 3x + { 2y – [ 5x – ( y + x )]} = (R: -x + 3y)
c) -3x + [ x² - ( 4x² - x) + 5x] = (R: -3x² + 3x)
d) Xy – [2x + ( 3xy – 4x ) + 7x ] = (R: -2xy - 5x)
e) 8x – [( x + 2m) – ( 3x – 3m)] = (R: 10x – 5m)
f) X – ( b – c) + [ 2x + ( 3b + c) ]= (R: 3x + 2b + 2c )
g) –[x + ( 7 – x) – ( 5 + 2x) ]= (R: -2 +2x)
h) {9x – [ 4x – ( x – y ) – 5y ] + y} = (R: 6x + 3y)
i) ( 3x + 2m) – [ (x – 2m) – ( 6x + 2m) ] = (R: 8x + 6m)
j) 7x³ - { 3x² -x – [ 2x – ( 5x³ - 6x²) – 4x ]} = (R: 2x³ + 3x² - x)
k) 2y – { 3y + [ 4y – ( y – 2x)+ 3x ] – 4x } + 2x = (R: 11y – 4x)
l) 8y + { 4y – [ 6x – y – ( 4x – 3y ) – y ] -2x } = (R: 6x + 4y)
m) 4x – { 3x + [ 4x – 3y – ( 6x – 5y ) – 3x ] – 6y }
n) 3x – { 3x – [ 3x – ( 3x –y ) – y ] –y } - y

4) Reduza os termos semelhantes:
a) -2n – (n – 8) + 1 = (R: -3n + 9)
b) 5 – ( 2x – 5) + x = (R: -x +10)
c) 3x + ( -4 – 6x) + 9 = (R: -3x +5)
d) 8y – 8 – ( -3y + 5) = (R: 11y – 13)
e) X – [ n + (x + 3) ] = (R: -n -3)
f) 5 + [x – ( 3 – x) ] = (R: 2x + 2)
g) x² - [ x – (5 - x²)] = (R: -x + 5)
h) 5x – y – [x – (x - y)] = (R: 5x – 2y)

5) Reduza os termos semelhantes:

a) 2x + ( 2x + y) – ( 3x – y) + 9x = (R: 10x + 2y)
b) 5x – { 5x – [ 5x – ( 5x – m ) – m ] –m } – m = (R:  0)
c) – { 7x – m – [ 4m – ( n – m – 3x) – 4x ] + n } = (R: -8x + 6m -2n)
d) 5xy – { - (2xy + 5x )+ [3y – (-xy +x + 3xy)]} = (R: 11xy + 6x - 3y)

01 - RAIZ QUADRADA

RAIZ QUADRADA

Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado.
Exemplos:
a) √49 = 7 porque 7² = 49
b) √100 = 10 porque 10² = 100

NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS

Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais:
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49

Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.



RAIZ QUADRADA APROXIMADA

Vamos calcular a raiz quadrada do número 23.

Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25

Veja: 16 é menor 23 é menor 25.

Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25.
4 é menor que √23 é menor que 5.

Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23.
E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23

1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25

a) √4 = (R: 2)
b) √64 = ( R: 8)
c) √81 = (R: 9)
d) √49 = (R: 7)
e) √0 = ( R: 0)
f) √1 = (R: 1)
g) √100 = (R: 10)
h) √121 = (R: 11)
i) √169 = ( R: 13)
j) √400 = (R: 20)
k) √900 = (R: 30)
l) √225 = (R:15)

2) Calcule

a) √1 + √0 = (R: 1)
b) √64 - √49 = ( R: 1)
c) 15 + √81 = (R: 24)
d) 2 + √4/9 = (R: 8/3)
e) -3 + √16 = ( R: 1)
f) -5 - √36 = (R: -11)
g) 3√16 – 9 = (R: 3)

3) Calcule

a) √81 = (R: 9)
b) √36 = (R: 6)
c) √144 = (R: 12)
d) √196 = (R: 14)
e) √1600 = (R: 40)
f) √100 = (R:10)
g) -√100 = (R: -10)
h) √121 = (R: 11)
i) -√121 = (R: -11)
j) √400 = (R: 20)
k) -√400 = (R: -20)
l) √4/9 = (R: 2/3)
m) √1/16 = ( R: 1/4)
n) √64/81 = (R: 8/9)
o) √49/25 = (R: 7/5)


4) Calcule

a) 10.√4 = (R: 20)
b) 3 + √25 = (R: 8)
c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3)
d) √81-√9 = ( R: 6)
e) √100 - √25 = (R: 5)
f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6)
g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5)

5) Se √x = 30, então o valor de x é:

a) 60
b) 90
c) 600
d) 900 (X)

6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é:

a) 1/4
b) 3/2
c) 1/2 (X)
d) 3/4

7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é:
a) 42
b) 51
c) 50 (x)
d) 38